حل تمرین صفحه 67 ریاضی هفتم

برای پیدا کردن زمان حرکت همزمان بعدی اتوبوس‌ها، باید **کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م)** زمان حرکت آنها را پیدا کنیم. 🚌 ۱. **پیدا کردن ک.م.م. اعداد ۲۰ و ۳۰:** - مضرب‌های ۲۰: $۲۰, ۴۰, \boldsymbol{۶۰}, ۸۰, ...$ - مضرب‌های ۳۰: $۳۰, \boldsymbol{۶۰}, ۹۰, ...$ کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد، **۶۰** است. $[۲۰, ۳۰] = ۶۰$. ۲. **نتیجه‌گیری:** این یعنی اتوبوس‌ها هر **۶۰ دقیقه** (یعنی هر **۱ ساعت**) یک بار با هم حرکت می‌کنند. ۳. **اعلام زمان‌های بعدی:** چون اولین حرکت همزمان آنها ساعت ۱۲:۰۰ ظهر بوده است، حرکت‌های همزمان بعدی در ساعات زیر خواهد بود: - **۱:۰۰ بعد از ظهر** - **۲:۰۰ بعد از ظهر** - **۳:۰۰ بعد از ظهر** و به همین ترتیب هر یک ساعت.

برای حل این مسئله، باید زمانی را پیدا کنیم که برای هر دو دونده، مضربی از زمان یک دور کامل آنها باشد. این زمان، **کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک.م.م)** زمان‌های ۳۵ و ۲۱ ثانیه است. 🏃 **۱. پیدا کردن زمان رسیدن همزمان (ک.م.م.):** از روش تجزیه به عوامل اول استفاده می‌کنیم: - $۳۵ = ۵ \times ۷$ - $۲۱ = ۳ \times ۷$ ک.م.م حاصل‌ضرب عوامل مشترک و غیرمشترک با بزرگ‌ترین توان است: $$[۳۵, ۲۱] = ۳ \times ۵ \times ۷ = ۱۰۵$$ پس، امید و فرامرز پس از **۱۰۵ ثانیه** دوباره به نقطه شروع می‌رسند. **۲. محاسبه تعداد دورها:** - **تعداد دورهای امید:** $$\frac{\text{زمان کل}}{\text{زمان یک دور امید}} = \frac{۱۰۵}{۳۵} = ۳ \; \text{دور}$$ - **تعداد دورهای فرامرز:** $$\frac{\text{زمان کل}}{\text{زمان یک دور فرامرز}} = \frac{۱۰۵}{۲۱} = ۵ \; \text{دور}$$

- **آیا ۲۱۰ مضرب مشترک ۷ و ۳۰ است؟** **بله**. زیرا ۲۱۰ هم بر ۷ و هم بر ۳۰ بخش‌پذیر است. $$۲۱۰ \div ۷ = ۳۰$$ $$۲۱۰ \div ۳۰ = ۷$$ - **آیا ۴۲۰ مضرب مشترک ۷ و ۳۰ است؟** **بله**. زیرا ۴۲۰ نیز هم بر ۷ و هم بر ۳۰ بخش‌پذیر است. $$۴۲۰ \div ۷ = ۶۰$$ $$۴۲۰ \div ۳۰ = ۱۴$$ - **دو عدد ۷ و ۳۰ چند مضرب مشترک دارند؟** دو عدد **بی‌شمار** مضرب مشترک دارند. مضرب‌های مشترک دو عدد، همان مضرب‌های **ک.م.م** آن دو عدد هستند. ک.م.م ۷ و ۳۰ برابر با $۲۱۰$ است و چون عدد ۲۱۰ بی‌نهایت مضرب دارد ($۲۱۰, ۴۲۰, ۶۳۰, ...$)، پس ۷ و ۳۰ نیز بی‌شمار مضرب مشترک دارند.

- **اگر عددی بر عدد دیگر بخش‌پذیر باشد، عدد بزرگ‌تر ک.م.م. دو عدد است.** **دلیل:** فرض کنید $a$ بر $b$ بخش‌پذیر باشد. این یعنی $a$ مضربی از $b$ است. از طرفی $a$ اولین مضرب خودش نیز هست ($a = ۱ \times a$). چون $a$ هم مضرب $a$ است و هم مضرب $b$، پس یک مضرب مشترک است و چون کوچک‌ترین مضرب $a$ خود $a$ است، پس $a$ (عدد بزرگ‌تر) کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد است. - **اگر ب.م.م. دو عدد یک باشد، ک.م.م. دو عدد، برابر حاصل ضرب دو عدد است.** **دلیل:** یک رابطه کلی بین ب.م.م و ک.م.م دو عدد $a$ و $b$ وجود دارد: $(a,b) \times [a,b] = a \times b$. حال اگر ب.م.م دو عدد ۱ باشد ($(a,b)=۱$)، این رابطه به صورت $۱ \times [a,b] = a \times b$ در می‌آید که نتیجه می‌دهد $[a,b] = a \times b$. - **ک.م.م. دو عدد اول برابر حاصل ضرب آنهاست.** **دلیل:** این حالت خاصی از جمله قبلی است. دو عدد اول **متمایز**، هیچ شمارنده مشترکی به جز ۱ ندارند، پس ب.م.م آنها ۱ است. بنابراین، ک.م.م آنها برابر با حاصل‌ضربشان خواهد بود. (اگر دو عدد اول یکسان باشند، ک.م.م برابر خود آن عدد است).

- **$[۱, n] = n$** (ک.م.م هر عدد با ۱، خود آن عدد می‌شود.) **مثال:** $[۱, ۹] = ۹$ - **$[n, n] = n$** (ک.م.م هر عدد با خودش، خود آن عدد می‌شود.) **مثال:** $[۸, ۸] = ۸$ - **ب.م.م. دو عدد شمارندهٔ ک.م.م. دو عدد است.** **مثال:** برای اعداد ۶ و ۹: $(۶, ۹) = ۳$ $[۶, ۹] = ۱۸$ همانطور که می‌بینیم، ۳ شمارنده ۱۸ است. - **حاصل ضرب دو عدد، برابر حاصل ضرب ک.م.م. و ب.م.م. دو عدد است.** **مثال:** برای اعداد ۶ و ۹: - حاصل‌ضرب اعداد: $۶ \times ۹ = ۵۴$ - حاصل‌ضرب ک.م.م و ب.م.م: $۱۸ \times ۳ = ۵۴$

در این تمرین، از پرانتز () برای نمایش ب.م.م و از کروشه [] برای نمایش ک.م.م استفاده شده است. | عبارت | پاسخ | عبارت | پاسخ | عبارت | پاسخ | عبارت | پاسخ | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | **$[۴, ۱۲]$** | **۱۲** | **$(۳, ۱۵)$** | **۳** | **$(۵, ۷)$** | **۱** | **$(۲۰, ۳۰)$** | **۱۰** | | **$[۴, ۹]$** | **۳۶** | **$[۱۵, ۳۰]$** | **۳۰** | **$(۱۹, ۳۸)$** | **۱۹** | **$[۳۰, ۵۰]$** | **۱۵۰** | | **$[۴, ۶]$** | **۱۲** | **$(۳, ۷)$** | **۱** | **$[۳, ۷, ۲]$** | **۴۲** | **$[۴, ۹]$** | **۳۶** |